4月 6 2006
エーテル体と射影空間
R・シュタイナーはエーテル体の幾何学には射影幾何学がふさわしいだろうと述べている。数学的に見ても射影空間はユークリッド空間よりもより本質的な空間だということができる。
その意味で、ユークリッド的な空間を視覚が射影的に見ているというよりも、まずは射影空間としての視野空間があって、その空間を人間がユークリッド的に再構成していると考える方がより自然な推理である。これは、ヌース的に言えば、世界の成り立ちとして、まずは外面空間が先手として存在し、その外面を元にして内面認識が編集、構築されているということを意味する。この構築に手を貸すのが鏡としての他者の視野空間なのだ。その意味でユークリッド的空間認識と自我の形成は深く結びついている。
おそらく人間の外面の意識の基礎となる元止揚空間（ψ1→ψ3→ψ5→ψ7）がエーテル体に相当するとするヌース予測は適確なものだろう。実際、これら四つの観察子領域のうち最初の二つはきっちりと射影空間に対応させることが可能のようだ。今の所の対応予測は次のようなものである。
ψ1（表相）………2次元射影空間
ψ3（表面）………3次元射影空間
ψ5（面）………1次元複素射影空間？
ψ7（背面）………2次元複素射影空間？
射影空間と人間の外面空間の相性の良さの由来は、射影空間が内面と外面の捻れを含んでいることにある。つまりメビウスの帯的構造を持っているからだ。捻れはヌースでいう「等化」を意味する。たとえば、2次元射影空間を数学的に見て見よう（図2）。
ここに示したように、2次元射影空間とは、球面上の対セキ点をたがいに同一視した半球面上の空間になるのだが、図での赤道部分に当たるこの縁の部分はメビウスの帯と全く同じトポロジーになっている。つまり、捩じれているのだ。
このことは、例えば、自他の間に挟まれて見えている球体状の対象の輪郭を構成しているかたちは、じつは単純な円などではなく、下図1のようにメビウスのおびのように捩じれた円環であることを暗示している。おそらく客観が構成されている空間にはこうした捻れが不可欠なのである。というのも、その捻れの位相自体が様々な観測者を周囲に配置させているからだ。個体が見ている表相はこうした捻れの一位相への射影として立ち上がってきているものと考えなければならない。この捩じれの位相の由来をすべて見抜いたときに、われわれはモノ自体の世界へ侵入できるのだ。
2006年4月6日 @ 16:22
射影空間に平形投影するときにひとつ疑問があるのですが、それは、曲率という問題です。
たとえば、いわゆるユークリッド幾何学の成り立つ平面は曲率ゼロですが、非ユークリッド幾何学で、リーマン平面(というのでしょうか、球面状の面のこと)では曲率が正になり、ロバチェフスキー平面では曲率が負になります。
これがたとえばどういう風に現れてくるかといいますと、三角形の内角の和がは普通は180°ですが、それは平面の曲率がゼロのときであり、曲率が正の平面では三角形の内角の和は180°より大きくなり、曲率が負の平面では180°より小さくなります。
ですから、今目にしているこの空間に関しても、平面上の三角形に相当するものとして、たとえばこの空間内に正四面体があるとして、もしこの空間が射影空間だとしたら、その内角の和とか何かが変わってくると思うのですね。
今知られている正四面体は、当然、曲率がゼロの空間内の多面体です。
とすると、私たちの空間認識は、外面と言っても純粋に外面を見ているのではなく、微妙に内面性が混入された世界を見ているということになりませんか。曲率がゼロの空間というのは、たぶん、人間の内面性がもたらすものでしょうから。
いつぞやのヌースレクチャーのパンフレットでは、｢ラティセ｣なる言葉が登場していて、そこでは、ゆがみのない面(空間でしたか)のことが語られていましたが、それによると、｢ゆがみのない｣というのは、平面のことではなく、実は球面のことである、というようなことが書かれていましたね。あれが印象的です。
ということは、空間曲率が正になって感じられるときがいいのでしょうか。
以上、思いつくままのコメントでした。あしからず。
2006年4月6日 @ 23:00
ふうさん、こんにちは。
残念ながら、射影空間と曲率との関係はまだよく分かりません。
>今知られている正四面体は、当然、曲率がゼロの空間内の多面体です。
理念としての多面体はそうでしょうが、
ブツとしての多面体は重力によって多少は曲がっているのでは？
>とすると、私たちの空間認識は、外面と言っても純粋に外面を見ているのではなく、微妙に内面性が混入された世界を見ているということになりませんか。
正確に言うと、ヌースの考え方では、「外面を見る」という言い方はできません。というのも、外面とは見ている主体を意味するからです。むしろ内面性を見たかのように思うために、外面性*が混入してきていると言った方がいいのではないかと思いますが。。
>曲率がゼロの空間というのは、たぶん、人間の内面性がもたらすものでしょうから。
これは全くその通りだと思います。曲率ゼロ、つまり平坦性とは「中和」のことです。方向が見えていないということを意味します。
>いつぞやのヌースレクチャーのパンフレットでは、｢ラティセ｣なる言葉が登場していて、そこでは、ゆがみのない面(空間でしたか)のことが語られていましたが、それによると、｢ゆがみのない｣というのは、平面のことではなく、実は球面のことである、というようなことが書かれていましたね。あれが印象的です。
>ということは、空間曲率が正になって感じられるときがいいのでしょうか。
ラティセとは確か、マヤ人たちが持っていた空間概念のことだったと思います。ラティセが歪んでいないときは宇宙には時間が存在しない。時間はラティセの歪みによって生じる。というのが彼らの考え方だったと何かの本で読みました。そのことを書いていたのでしょう。
「歪んでいるのは平面で、歪んでいないのが球面だ」と言った意味は、超平面（3次元平面）の意味で言ったのだと思います。つまり、3次元平面（人間の内面）と3次元球面（人間の外面）です。
3次元平面を見る（見たかのように思う）ためには、反対側の3次元球面（思形）を利用しなければいけません。この反対側に偏った意識がラティセの「歪み」を指しているのだと思います。実際、この反対側の3次元球面（思形）が作り出すものが時間になっているとも言えます。4次元方向が逆を向いているという意味で。