無限遠

●ψ5の反映としての次元観察子ψ6（丸められた時空と開いた時空）
　では、今度はこの4次元のアナロジー図を使って次元観察子ψ6のカタチがどのように表されるかを見てみましょう。下図1をご覧になりながら以下の解説を読んでみて下さい。
　

　
　次元観察子ψ5がψ3とψ4の等化作用として生じる観察子であるのに対して、ψ6の方はその反映としての中和作用の次元になります。中和ですから、ψ6においてはψ3とψ4の対称性が形作られはするものの、その内実はψ5の様子とはだいぶ違ってきます。まず言えるのはψ5では無限遠点が主体の位置として自覚されているのに対し、ψ6にはそれが全く見えていないということです。その理由はおおよそ次のようなロジックで説明することができます。
　まず、ψ5は人間の外面であるψ3を先手にして後手のψ4との関係を等化に持っていきます。この働きを空間の掛け算で表し、
　ψ5=ψ3×ψ4
としましょう。これは前回説明したように、3次元球面が表裏で二重化する意味を表したものです。
　一方、ψ6の方は人間の内面側であるψ4を先手にψ3との等化をはかろうとします。これは掛け算の順序を入れ替えて、
　ψ6=ψ4×ψ3
で表すことができると考えましょう。

　通常の掛け算であれば、A×B=B×Aとなり交換法則が成り立つのですが、観察子同士の掛け算は演算子の積と同じで、ψ3×ψ4とψ4×ψ3ではその結果が全く違う形を提供してきます。

　人間の外面であるψ3の方は無限遠点に主体の位置が収まったカタチでした。ですから、3次元空間は3次元球面のカタチとして現れます。そこでψ3は、自身の反映としてのψ4を自分自身の反転したものとして見るのですが、当然、ψ4が自身の反転した映し絵であるならば、ψ3はψ4側の無限遠点にも主体位置があることを知っていることになります。それによって、等化によってψ5の形成へ進もうとするときに、反転した3次元空間側の無限遠点にも主体の位置を当てはめてくるというわけです。こうしてψ3の無限遠点－∞とψ4の無限遠点＋∞はψ5において重合し、±∞として主体位置である点Sを完全化させることになります。

　一方、ψ6=ψ4×ψ3の方では全く逆のことが起こるのが分ります。ψ4側では精神が働いていないので、無限遠点+∞が主体の位置であるという認識は生まれてはいません。ですから、ψ6がψ5の反映の作用であるψ4×ψ3としてψ4とψ3との間で対称性を取らされようとするときに、ψ6はψ3の無限遠点-∞に主体の位置があるということを見逃してしまい、結局、3次元空間をコンパクト化する（丸めるということ）ことができずに、そのまま3次元空間を開かせた形で二重化した3次元空間（多様体）として出現してくることになります。図1に示したψ6の球面の無限遠点が白い穴で表されているのが3次元が球面として閉じていないということを表しています。これがいわゆる多様体としての3次元ユークリッド空間です。

　それに加えて、この3次元ユークリッド空間にはψ5が作り出した4次元の回転軸が反映として入り込んでくることになります。この反映はψ6においては4次元軸の方向の反転として現れ、4次元の計量の符号を正から負へと逆転させることになります。以前も説明したように、これが物理学が時間tとして扱っている次元に当たります。この結果、次元観察子ψ6は僕らが時空（局所）と呼んでいるものとして現れてくるという仕組みになっているわけです。
　図1ではψ5とψ6の対性を強調するためにψ6も球面状のカタチで表してしまいましたが、こうした開いた3次元空間に時間が加味された時空のカタチは数学的には3次元双曲面として表されます。そのカタチを使って図1を書き直すと、次元観察子ψ5とψ6の幾何学的関係は下図2のように表すことができます。
　

　
　次元観察子ψ5=3次元球面の自転とその自転軸
　次元観察子ψ6=3次元双曲面の自転とその自転軸
　
　この図の意味を簡単な言葉で表すと、（34）の図1で図示した観察者における前方向が作るSO(3)と後方向が作るSO(3)のそれぞれの空間のかたちの関係と言えるでしょう。実際に物理学では、時空R(1,3)のかたちは、

R^1(+)×SO(3)

とされています。後ろは視覚（光）が生み出されていないという意味で無限遠に主体の位置を置くことができず、文字通りどこまで行ってもたどり着けない場所として永遠に開いています。その意味で、時空は後ろ方向であるR^1(+)という半直線に3次元回転群SO(3)を作用させたもので表すことができるということです。

　このψ5とψ6の関係性をさらに正確に描写するためには、例の「前方向は一点同一視によって長さが無限小にまで縮められている」という知覚的事実を盛り込む必要性が出てきます。結果、次元観察子ψ5は時空における原点Ｏに小さく小さく張り付けられた3次元球面の自転とその自転軸として密やかに活動していることになります（図2参照）。こうして次のような推論が導き出されてきます。
　観測者に実際見えている前の世界は実のところ無限小の大きさにまで小さく小さく縮められて、後ろが作り出している広大な空間の中にすっぽりと収まってしまっているのではないか――前は持続を伴った主体（いつでも今、どこでもここ）として働き、後はそれらを時系列に沿って断片化させた瞬間時刻tと瞬間位置(x,y,z)の概念として働いているのではないか。。何という皮肉。見えている世界（前）が実は精神で、見えていない世界（後）が延長=物質となっているのだ。人間の認識はここにおいても転倒を余儀なくされている。。

　さて、ψ5～ψ6のここまでの解説で、これらの幾何学的構造が訴えている意味は何なのでしょう。少し想像力を使えばそれはおのずと分ってきます。つまり、こういうことです。本来、世界には見ているものも見られているものも存在しておらず、世界自体はその起源として一つの存在であるということです。そして、世界は世界を見るものと見られるものに分離させるために、つまり、世界が世界を見ることを欲したために、3次元空間を閉ざして球面化させる方向と、そのまま開かせて時空を生み出す方向を作り出した、ということになります。
主体が客体として錯覚されている世界。それが人間なのです。
――つづく

●3次元球面としての知覚球体――魂の皮膚
　では、今度は4次元から見たこの次元観察子ψ3とψ4を図を使って、この両者が等化されたところに生じている次元観察子ψ5のカタチを表してみることにしましょう。次元観察子ψ5の球空間の半径は観測者にとっての「前」方向の線分と見なすことができました。そして、その線分は回り回って観測者の後頭部にまで達する線分でした。「正面がうしろ」になるようなこうした線分を前回示した4次元のアナロジー図で表すと次のようになります（下図1参照）。

　
　モノの手前方向にある観測者の位置としての＋∞の無限遠点から発した矢印がモノの中心である原点Ｏを貫き、蛇行曲線を描きながら今度はモノの背後方向にある－∞としての無限遠点Sに到達しているのが分ります。このことから、結局のところ、ψ4球面における無限遠点+∞とψ3球面における無限遠点−∞は同じ点Sで重合していることなります。この図ではψ3とψ4それぞれ二つの球面上に表された二つの無限遠点Sは別々のところに描かれていますが、本来は同一の点だということです。
　観測者の「前」方向を意味するこの蛇行曲線がψ5の球空間の半径となっているならば、この図に示した球面に沿って回転Rを与えてやれば、点Sを極点とする3次元球面S^3が形作られることになります。このときの回転Rの意味は、図を見れば分かるように、±z方向にあった線分が、±x、±y方向のすべてをなめることができるといったような意味です。
結果的に、回転Rは下図2のように、基底がそれぞれ＋1と－1のベクトルを回転させることによって生まれる二つの3次元空間を張り合わさたような形を作り出すことが分かります。基底－1の方をψ3の球空間、＋1の方をψ4の球空間と見れば、このψ5は二つの球空間を連続的につなぎ合わせ、その境界を無効にするような意味を持っているわけです。この形が正式な意味での3次元球面S^3です（これを反転させた表示がNCにおける真ん中の球体です）。
　

　
　ここで「正式」といったのは、この形になってはじめて3次元球面が多様体としての意味を帯びてくることが予想されるからです。多様体とは簡単にいえば、3次元座標が並進や回転の自由度を持てるようになることをいいます。これは空間が単なる座標から座標系（座標の集まり）に変わるということを意味します。つまり、次元観察子ψ3は単に「3次元の座標」を4次元空間上で丸めたものだったのですが、次元観察子ψ5の方は「3次元の座標系」を丸めたものの意味を持つわけです。
　これらの違いをより直観的に思い描くには、上で行った図1に関する説明を次のように変えてみるといいでしょう。図1をもう一度ご覧になって下さい。ψ3とψ4の球面はいわば3次元平面を鏡面とした鏡映のような関係にあります。ならば、観測者の前方向は下図3のような円環でも表せることが分かります。
　

　
　この図3ではψ4球面上で＋∞からＯ点に向かっていたz方向の＋の領域をそのままψ3球面の裏面側に移動させて描いただけです。極点Sが＋∞と－∞の両方の無限遠点の意味を兼ね備えていることが分かりますね。＋∞から原点Ｏまでは、この球面の裏面側をなぞり、原点Ｏから－∞まではこの球面の表面側をなぞるような円環としてψ5の球空間の半径部分が表せることが分ります。そして、ここで、この円環に回転Rを与えてみましょう。すると、ψ3球面の表面と裏面とが捩じれた形で繋がっている二重の球面のイメージが形作られてくるはずです。この二重の球面は互いに反転した3次元空間が点Oと∞点で連結し、互いの境界を無効にしている様子を表しています。つまり、二つの3次元の球空間が張り合わされて内面と外面が等化されているわけです。この形を数学的に示すと、正面方向と背後方向がつながった円環S^1に2次元球面S^2を掛け合わせる意味を持った下のような演算になります。

　S^1×S^2=S^3（※S^2を底空間とするS^1のファイバー束で全体空間がS^3）

　この二重化した球面がなぜ多様体の意味を持つかということを直感的に把握するためには、半径を同じにする二枚の2次元球面を用意するといいでしょう。この二枚の球面を重ね合わせて二重化した2次元球面のイメージを作ります。そして片方の球面をベースとして、もう片方の球面を滑るようにいろいろな方向に回転させてみるのです。2次元球面の中で2次元球面自体がグルグルと様々な方向に回転できるイメージを容易に作れます。このとき、この二枚の球面の次元を一つあげて3次元空間が丸められたものと見なせば、3次元球面という多様体のイメージが、あくまでも比喩的にですが、作れたことになります。3次元の中を3次元が動くイメージです。
　さっそく、ここで得たイメージを実際の空間認識に移し替えてみましょう。

　たとえば、目の前にある何か一個のモノを見て下さい。そのとき、そのモノから広がる3次元の空間を皆さんはイメージすることができているはずです。それが3次元座標です。そして、次に、その座標自体をイメージの中で前後、左右方向に動かしたり、回転させてみたりして下さい。たぶん、それもイメージが可能なはずです。3次元座標はこのように3次元のどの場所へでもその原点を移動させることができます。こうして、実際、ψ5である観測者の周囲の空間には無数の3次元座標を設定することが可能になることが分ります。こうして設定された3次元座標の集合全体が3次元座標系と呼ばれるものです。

　上の説明からいえば、これはψ3の球空間がψ4の球空間の上を動くことによって可能になっているというわけです。つまり、次元観察子ψ3を任意の一つの座標とすれば、そこにψ3×ψ4という形で次元観察子のψ4が掛け合わされることによって、座標の原点自体が3次元の各方向に動けたり、その場で回転できる自由度が生まれてくるということなのです。もっと平たい言い方をすれば、無数のモノを空間に配置することが可能になるということですね。こうしたモノの多数性は、一個のモノから広がる空間内では決して成立しません。なぜなら、3次元上の多数のモノの存在を確認するには、観測者の視線の回転が必要だからです。その意味でも、本来、3次元の座標系というものは観測者から広がる空間において初めて成立すると考える必要があります。3次元空間の多様体としての性質は観察者の存在によって保証されているということです。こうして、観察者にとって一個のモノの観察次元がψ3だったのに対して、無数のモノの観察次元がこのψ5という次元観察子の実際的な意味になります。

　まとめておきましょう。一人の観測者から広がっている空間=知覚球体。これは4次元から見ると3次元球面というカタチをとっており、これが次元観察子ψ5となっている――このことをしっかりと覚えておいて下さい。