●メビウスの帯とスピノール………（1）
　さて、スピノールの話を続けます。ここからの話をより分りやすくするために、前回の図2における正六面体の内接球だけを引っこ抜いて、ここに図1として示します。この球空間がスピノールが活動している空間になります。

　この図で±1/2h’の長さで表されている矢印が数学的にはスピノールに対応します。このスピノールは+1/2h’がアップスピンと呼ばれ、-1/2h’がダウンスピンと呼ばれるものになりますが、図に示した回転Rの方向によって（つまり、角運動量の方向に対して右回転か左回転かによって）、極性が反転します。こうした組み合わせが、たとえばレプトンであれは、電子とニュートリノのアップスビンとダウンスピンの対を作ってきます（実際に観測にかかるのは左巻きのニュートリノだけとされていますが、これはヌーソロジー的には右巻きのニュートリノが観測の場そのものとしての時空として化けているからではないか、ということになります）。ここではあとの説明で出てくる次元観察子ψ5とψ6との絡みからダウンスピン側を左巻き（L）のニュートリノのスピンとして考えることにします。
　両スピンとも単なる矢印で表されているので、一見普通のベクトルと何ら変わらないもののように見えてしまいますが、ここに表されたスピノールはベクトルとは全く違った性質を持っています。否、ベクトルとは全く違った性質を持っているからわざわざ「スピノール」という名称が与えられていると思った方がいいでしょう。

　では、普通のベクトルとスピノールはどう違うというのでしょうか。今、原点Ｏを中心として電子e-↑の方をx-z平面で回転させてみることにしましょう（図1参照）。これが普通のベクトルであれば360度回転させれば元のところに戻ってくるはずです。しかし、スピノールはそうはいきません。数学的に定義されている性質から360度回転させてもなぜかダウンスピンの場所（赤い矢印の部分）にしかたどり着けないのです。そして、スピノールが回転によって元のところに戻ってくるためには720度、つまり普通の回転で言えば2回転しなければならないとされます。つまり、スピノールが張られてるこの3次元の球空間は一回転が720度に相当するような性質を持っているわけです。実際の3次元空間ではこのようなことは起こり得ませんから、この球空間は物理学では「内部空間」と呼ばれ、時空上の一点一点に貼付けられた数学的な抽象空間の扱いを受けます。

　要は、この内部空間においては、180度に見えている角度は実際の3次元空間上では360度に対応しており、アップスピンを360度回転させるとダウンスピンに変わり、もう360度回転させることによって、ようやく、元のアップスピンに戻るということなのです。よく、一般向けの解説書を見るとスピノールは720度回転で対称性を取り戻す、と書いてありますが、その内容はこうした意味を指して言っているわけです。。。う〜ん、分らない。。という皆さんのうめき声が聞こえてきそうです。はてはて、一体このスピノールとは何物なのでしょうか？

　720度回転して元の位置に戻ってくる——スピノールが持っているこうした奇異な性質の喩えはよく「メビウスの帯」で説明されます（下図2参照）。今、図2に示したように、メビウスの帯上をアリが歩いている様子を想像してみて下さい。この帯の上をアリが一回転してくるとちょうどスタート地点の真裏に来るのが分ります。そして、このアリはもう一回りしてようやく元のスタート地点に戻ってくることができます。スピノールの回転も単純な回転ではなく、このメビウスの帯のように回転軌道が進行方向に沿って捻られているような形になっているために360度回転しただけでは元の位置には戻らず、720度回転して初めて元の位置に戻るような性格を持っているわけです。

　さて、ここで、ヌーソロジーの話に戻りましょう。無限小の長さにまで潰された観測者の絶対的前を回転させている4次元軸、これが次元観察子ψ5の位置であり、これこそが物理学のいうスピノールの正体になっているのではないか、と前回の記事で強調して書きました。このような考え方がスピノールが持つこの「720度回転して対称性を取り戻す」という特性とうまく合致すれば、とりあえずは、次元観察子ψ5=スピノールという推測がそれほど的外れな主張ではないということが言えるはずです。
　では、さっそく検証に入りましょう。まずは、以前ご紹介した次元観察子ψ5〜ψ6の図を再度、引っ張ってきてみることにします（下図3）。

　元々、次元観察子ψ5の位置を決定していた場所がどのような性格を持っていたかと言うと、ここは相互反転した3次元の球空間の＋∞と−∞に当たる場所でした。つまり、次元観察子ψ5を示す矢印の先端の位置は3次元空間上の位置のように単純に一点で指定される場所ではなく、S=（＋∞、−∞）というように相互反転した3次元空間における二つの無限遠点の重合によって指定されている場所になっていたわけです。
　反対向きの矢印についてはどうでしょうか。こちらは中和側=次元観察子ψ6です。この中和側は人間の内面の意識側から見れば今まで説明してきたように時空、つまり無限の広がりを持つ3次元双曲面の自転軸に当たりますが、等化側であるψ5から見れば、自分自身の反映なわけですから、当然、こちらも無限小の長さを持つ4次元方向の回転軸に見えているはずです。そして、このψ6の矢印の先端の位置は次元観察子ψ5側とは外面と内面の関係が逆になっているわけですから今度はS*=（−∞、＋∞）によって指定されています。つまり、ψ5とψ6を規定する重合した無限遠点の位置は4次元から見ると、射影空間的な性質を持っており、表裏が逆の関係にあるわけです。
　ここで、次元観察子ψ5が電子のアップスピン、ψ6がニュートリノのアップスピンとしてのスピノールを意味しているとすると（ψ6の回転Rを逆方向に取ればψ*5となって電子のダウンスピンとも考えることができます）、物理学でいうスピノールの回転とは、ヌーソロジー的にはこれら次元観察子ψ5とψ6を等化するための回転Lとして解釈することができます（ψ7の方向性を作り出しているということ）。ψ5とψ6はともに4次元方向において正反対を向いている矢印ですから、両者を等化するためのこの回転は当然のことながら4次元空間上での回転となります。図からも分るように、この4次元空間内で半回転させれば、S（＋∞、−∞）とS*（－∞、＋∞）が入れ替わることができるわけですが、このとき、Sの（＋∞、－∞）とS*の（－∞、＋∞）の関係を裏返すような回転の位相が、この4次元の回転には隠されているわけです。この4次元回転の軌道Lに沿ってもう半回転させれば、ψ5は元のψ5の位置としての（＋∞、－∞）に戻ってくることができます。
　さて、さて、次元観察子ψ5とψ6も半回転すると（＋∞、−∞）と（−∞、＋∞）が入れ替わるような構造を持っていることが分ってきました——このこととスピノールとはどのような関係にあるのでしょうか。例のメビウスの帯を使って、次のような考え方を作れば両者の関係をうまく説明することができます。
——つづく

●スピノール登場
　（前回のつづき）この接続を達成するためには、やはり、そのときの空間の構造が重要なカギを握っているのではないかと思います。位置の等化=次元観察子ψ5の幾何学的構造とは時空上のあらゆる点に貼り付つけることができる超ミクロの3次元球面とその自転軸のことだったことを思い出して下さい。もし、こうした空間構造を持つ何ものかが科学者たちにとっての実存として実際に目の前の時空に存在しているのならば、それこそヌーソロジーが描像している自己という存在の場所性が多くの人に合意形成を得ている従来の科学体系と確固とした連結を伴ってこの現実世界に接続してくることになります。つまり、宗教のような超越的な言説、哲学のような観念的な言説を持ち込まずとも、人間存在に対する見方を今までの人間の現実の中から全く別のものへと変革させていける可能性が出てくるわけです。

　時空上のあらゆる点に貼り付いた超ミクロの大きさの3次元球面とその自転軸――ヌーソロジーの考え方からすれば、これが「わたし」自身の正体でもあるわけですが、この4次元方向を向いた回転軸はおそらく物理学者たちがスピノールと呼んでいるものではないかと考えられます。これははっきり言ってとても非常識な内容です。ですから、それだけに強度もあるので、再度、強度を強調してリフレインしておきます。――奥行きの同一視によって長さ無限小にまで縮められた4次元軸としての観測者の絶対的前方向、これが物理学者たちがスピノールと呼んでいるものの正体だと考えられます。

　もしこの予想が正当性を持つことになれば、僕らは物質と精神の結節点らしきものを初めて描像することに成功したことになるでしょう。というのも、スピノールとは物理学では物質を作る元となっている電子やクォークの自転角運動量（スピン）として登場してくるからです。つまり、人間の外面としての働きである持続-記憶や未来に対する直感はひょっとすると電子やクォークそのものの中にそのすべてが蓄えられているのかもしれない、ということです。
　ということで、スピノールそのものの話に入る前に、電子の自転角運動量という概念について物理学がどう語っているか簡単にダイジェストしてみます。自転角運動量といってもよく分からない人もいるでしょうから、まずは通常の物体の角運動量について簡単に説明しておきましょう。

　角運動量とは回転している物体が持っている運動量のことを言います。通常の運動量pは質量mと速度vの積mvで表されますが、角運動量の場合はこの運動量pに回転している円の半径rを掛け合わせ、

L=p×r（ベクトルの積です）
角運動量 : L　 運動量 : p=mv　回転半径 : r

として表されます。角運動量はベクトル量なので当然、方向を持ち、この方向は回転面に対して垂直な方向、つまり回転軸の方向に現れます。例えば車輪が回っているとするとその車軸の方向ですね。通常の物体の回転はモノが回っているわけですから、その回転は群でいうと2次元回転群SO(2)です。このとき、軸は回転面x-yに対して垂直なz方向に立ち上がり、その方向に自転角運動量ベクトルを形作ってくるわけです（下図1参照）。
　

　
　これは「回転とは等化の本質である」というヌーソロジーの論理を使えば、回転という運動にによってx軸とy軸が等化され（対称性を持ち）、2次元から3次元方向にz軸という方向性を作った、という言い方ができます。レベルは低いですが一種のアセンション（次元上昇）です。回転運動が持っているこのような次元上昇の仕組みをまずはここでしっかりと頭に入れておいていただければと思います。というのも、ヌーソロジーが説くヌース（旋回的知性）とは、回転（等化）によって認識の視点を次元上昇させていく知性の在り方のことを言うからです。その意味で言えば、通常の自転角運動量とは2次元に対する観察子位置を3次元に作り出すための負荷ということになるのかもしれません。次元観察子で言えば、ψ1～ψ2レベルからψ3～ψ4レベルへの意識の侵入力です。

　まぁ、このへんのヌーソロジー自体の内容は後に回すとして、話を元のスピンに戻しましょう。
　一般に電子やクォークも自転していると考えられています。ここで「一般に」と言ったのは、厳密にはこれらの粒子の自転の場が3次元空間ではなく内部空間と呼ばれている描像不能な場所なので、果たしてそれらの自転を通常の物体の自転のように考えていいかどうかが分らないからです。しかし、回転の性質を持っているといういう意味ではやはり角運動量が存在しています。このときの角運動量がスピン角運動量と呼ばれているものです。スピン角運動量は磁場方向の成分（スピン量子数msと呼ばれます）を取ると常に一定となっており、その値は±1/2h’（h’=h/2π）です（hはプランク定数で光1振動分のエネルギーを表します）。ヌースでもよく話が出てくる「スピン1/2」というのはこの値のことを指しています。
　物理学の言葉が一挙に出てきて、ちょっと話が分かりにくくなったかもしれないので、イメージが涌くようにスピンの詳細を図で説明しておきます。
　

　
　電子やクォークが自転していると言っても、その自転軸はピンッと直立不動で立っているわけではありません。上図2に示すようにちょうど回転力が衰えたときのコマのように回転軸自体が傾斜して回っています。このとき傾斜軸の角運動量は√3/2h’とされています。そして、このとき起こっている傾斜軸自体の回転におけるz方向の成分がスピン量子数と呼ばれるものです。ピタゴラスの定理からz方向の成分の値がさきほどご紹介したように±1/2h’になっているのが簡単に分ると思います。この比の関係性はちょうど直径√3の長さを持つ球体に正六面体を内接させて、その4本の立体対角線をすべて「等化」させるような回転が起こっていると考えればイメージが簡単になります。つまり、この回転の磁場方向の成分を表すスピン量子数±1/2という値は、この正六面体に内接する球体の半径の大きさに対応してくるわけです。このように、電子やクォークのスピンの成り立ちには1:√2:.√3という正六面体の構成比が深く関係しているわけです。このことは、物質の根底が極めてシンプルな幾何学比によって支配されているということを示唆しています。
――つづく