内面と外面

●3次元球面としての知覚球体――魂の皮膚
　では、今度は4次元から見たこの次元観察子ψ3とψ4を図を使って、この両者が等化されたところに生じている次元観察子ψ5のカタチを表してみることにしましょう。次元観察子ψ5の球空間の半径は観測者にとっての「前」方向の線分と見なすことができました。そして、その線分は回り回って観測者の後頭部にまで達する線分でした。「正面がうしろ」になるようなこうした線分を前回示した4次元のアナロジー図で表すと次のようになります（下図1参照）。

　
　モノの手前方向にある観測者の位置としての＋∞の無限遠点から発した矢印がモノの中心である原点Ｏを貫き、蛇行曲線を描きながら今度はモノの背後方向にある－∞としての無限遠点Sに到達しているのが分ります。このことから、結局のところ、ψ4球面における無限遠点+∞とψ3球面における無限遠点−∞は同じ点Sで重合していることなります。この図ではψ3とψ4それぞれ二つの球面上に表された二つの無限遠点Sは別々のところに描かれていますが、本来は同一の点だということです。
　観測者の「前」方向を意味するこの蛇行曲線がψ5の球空間の半径となっているならば、この図に示した球面に沿って回転Rを与えてやれば、点Sを極点とする3次元球面S^3が形作られることになります。このときの回転Rの意味は、図を見れば分かるように、±z方向にあった線分が、±x、±y方向のすべてをなめることができるといったような意味です。
結果的に、回転Rは下図2のように、基底がそれぞれ＋1と－1のベクトルを回転させることによって生まれる二つの3次元空間を張り合わさたような形を作り出すことが分かります。基底－1の方をψ3の球空間、＋1の方をψ4の球空間と見れば、このψ5は二つの球空間を連続的につなぎ合わせ、その境界を無効にするような意味を持っているわけです。この形が正式な意味での3次元球面S^3です（これを反転させた表示がNCにおける真ん中の球体です）。
　

　
　ここで「正式」といったのは、この形になってはじめて3次元球面が多様体としての意味を帯びてくることが予想されるからです。多様体とは簡単にいえば、3次元座標が並進や回転の自由度を持てるようになることをいいます。これは空間が単なる座標から座標系（座標の集まり）に変わるということを意味します。つまり、次元観察子ψ3は単に「3次元の座標」を4次元空間上で丸めたものだったのですが、次元観察子ψ5の方は「3次元の座標系」を丸めたものの意味を持つわけです。
　これらの違いをより直観的に思い描くには、上で行った図1に関する説明を次のように変えてみるといいでしょう。図1をもう一度ご覧になって下さい。ψ3とψ4の球面はいわば3次元平面を鏡面とした鏡映のような関係にあります。ならば、観測者の前方向は下図3のような円環でも表せることが分かります。
　

　
　この図3ではψ4球面上で＋∞からＯ点に向かっていたz方向の＋の領域をそのままψ3球面の裏面側に移動させて描いただけです。極点Sが＋∞と－∞の両方の無限遠点の意味を兼ね備えていることが分かりますね。＋∞から原点Ｏまでは、この球面の裏面側をなぞり、原点Ｏから－∞まではこの球面の表面側をなぞるような円環としてψ5の球空間の半径部分が表せることが分ります。そして、ここで、この円環に回転Rを与えてみましょう。すると、ψ3球面の表面と裏面とが捩じれた形で繋がっている二重の球面のイメージが形作られてくるはずです。この二重の球面は互いに反転した3次元空間が点Oと∞点で連結し、互いの境界を無効にしている様子を表しています。つまり、二つの3次元の球空間が張り合わされて内面と外面が等化されているわけです。この形を数学的に示すと、正面方向と背後方向がつながった円環S^1に2次元球面S^2を掛け合わせる意味を持った下のような演算になります。

　S^1×S^2=S^3（※S^2を底空間とするS^1のファイバー束で全体空間がS^3）

　この二重化した球面がなぜ多様体の意味を持つかということを直感的に把握するためには、半径を同じにする二枚の2次元球面を用意するといいでしょう。この二枚の球面を重ね合わせて二重化した2次元球面のイメージを作ります。そして片方の球面をベースとして、もう片方の球面を滑るようにいろいろな方向に回転させてみるのです。2次元球面の中で2次元球面自体がグルグルと様々な方向に回転できるイメージを容易に作れます。このとき、この二枚の球面の次元を一つあげて3次元空間が丸められたものと見なせば、3次元球面という多様体のイメージが、あくまでも比喩的にですが、作れたことになります。3次元の中を3次元が動くイメージです。
　さっそく、ここで得たイメージを実際の空間認識に移し替えてみましょう。

　たとえば、目の前にある何か一個のモノを見て下さい。そのとき、そのモノから広がる3次元の空間を皆さんはイメージすることができているはずです。それが3次元座標です。そして、次に、その座標自体をイメージの中で前後、左右方向に動かしたり、回転させてみたりして下さい。たぶん、それもイメージが可能なはずです。3次元座標はこのように3次元のどの場所へでもその原点を移動させることができます。こうして、実際、ψ5である観測者の周囲の空間には無数の3次元座標を設定することが可能になることが分ります。こうして設定された3次元座標の集合全体が3次元座標系と呼ばれるものです。

　上の説明からいえば、これはψ3の球空間がψ4の球空間の上を動くことによって可能になっているというわけです。つまり、次元観察子ψ3を任意の一つの座標とすれば、そこにψ3×ψ4という形で次元観察子のψ4が掛け合わされることによって、座標の原点自体が3次元の各方向に動けたり、その場で回転できる自由度が生まれてくるということなのです。もっと平たい言い方をすれば、無数のモノを空間に配置することが可能になるということですね。こうしたモノの多数性は、一個のモノから広がる空間内では決して成立しません。なぜなら、3次元上の多数のモノの存在を確認するには、観測者の視線の回転が必要だからです。その意味でも、本来、3次元の座標系というものは観測者から広がる空間において初めて成立すると考える必要があります。3次元空間の多様体としての性質は観察者の存在によって保証されているということです。こうして、観察者にとって一個のモノの観察次元がψ3だったのに対して、無数のモノの観察次元がこのψ5という次元観察子の実際的な意味になります。

　まとめておきましょう。一人の観測者から広がっている空間=知覚球体。これは4次元から見ると3次元球面というカタチをとっており、これが次元観察子ψ5となっている――このことをしっかりと覚えておいて下さい。

●3次元空間を丸める
　さて、さて、前回の続きです。自分の周囲に広がる空間の果てのどの方向を見ても、自分の後頭部が見える？？このことは一体何を意味しているのでしょうか。ここはもっと頭をスッキリとさせなければなりません。こういう状況は次元を一つ落として2次元で考えるととても分りやすくなります（下図1参照）。

　
　今、大きな球面上にアリが一匹います。アリにとってはこの球面が無限の平面世界のように見えています。そこにアリ神がやってきてアリに交信を送ります。

　「全きアリよ。おまえの遥か前方を見よ。」
　「ほよよよ。遥か前方………と言われても、視力が追いつきませんがな。」
　「肉の目ではなく、心の目で見るのじゃ。」
　「ほよよよ。。よよ。」
　「心の目で見れば、そこにはおまえの後ろ姿が見えることじゃろう」
　「あっしは複眼なんで、そんなこと言われても………………。」
　「へ理屈はよい。どうじゃ、見えたか。」
　「ほよよよ………はぁ、おぼろげですが。」
　「よろしい、では、そこで、グルリと回ってみなさい。今度は何が見えるかな。」
　「ほよよよ………後ろ姿しか見えない、ということにしておくざんす。。」
　「まぁ、それでよい。わしがおまえに教えたかったことは、”うしろの正面”とは、おまえ自身の顔面だということなのじゃ。このタマの仕組み、よくこころしておくのじゃぞ。」
　「ほよよよ。よぉ分らんですが、アリ神さまのありがたきお言葉として聞いておきますざんす。ほよよよ。」

　次元観察子ψ5のカタチとは、ここでの2次元がそのまま3次元に拡張されたものと考えるといいと思います。つまり、観測者の前方向はx、y、z方向のどちらを向こうとも、どの方向も意識が持った指向性の構造としては実際は無限遠点で円環状に閉じているということです。
　このようにx、y、zの3次元の各方向が円環構造を持った3次元空間は数学では3次元球面と呼ばれ、S^3（エス・スリー）という記号で表されます。通常の球面（2次元球面/S^2という記号で表します）が3次元空間の中で埋め込みが可能となるように、この3次元球面は4次元空間の中で埋め込むことが可能になります。要は4次元球体の表面が3次元球面になっていると考えるわけです。その意味で、3次元球面S^3の直径に当たる部分は当然、4次元の方向になります。
　さて、3次元球面の話は以前、このシリーズの第19回目で行なった次元観察子ψ3の解説でも出てきたと思いますが、ψ3はモノから広がる空間における無限大方向の球面を一点に同一視したところに形作られた3次元球面でした。次元観察子ψ5の場合は、観測者から広がる空間における無限大方向の球面を一点に同一視したときに形作られる3次元球面ということになります。では、この二つの一体何がどう違うのかを調べていくことにしましょう。
　実際の3次元球面を図にするのは不可能なので、『人神/アドバンストエディション』でも使用した図を使って、次元を一つ落とした形で比喩的にアナライズしながら考えていくことにします。

　まず、原点Ｏを持つ3次元空間を平面（x、y、z）で表します（下図2参照）。

　次に、この平面に垂直な方向を4次元方向と見立て、4次元方向にこの3次元平面を丸め、次元観察子ψ3のカタチを作ります。3次元平面上の無限遠が4次元軸上で無限遠点Sとして一点同一視され、3次元球面状のカタチを作っていることが分ります（下図3参照）。

　次に、ここに次元観察子ψ4を付け加えてみます。次元観察子ψ4は以前の解説では3次元双曲面というカタチで表しましたが、ここでは話を分りやすくするためにψ3と同じ3次元球面とし、無限遠点の位置に白い穴を開けて表すことにします。これはψ4側ではモノから広がる空間の無限大方向が一点同一視されておらず、想像的な「後」方向の中で開きっぱなしになっているという意味を持たせています。このことは、ψ4ではψ3のように知覚が存在していないので「知覚=主体」とするための位置が生まれておらず、無限遠点が「主体」という差異の概念で埋められていないということを意味しています。一方のψ3が形作る3次元球面は無限遠点を黒い点で表しています。これは、ここに主体という差異の概念が収まっているという意味です（下図4参照）。

　「次元観察子ψ3=人間の外面、次元観察子ψ4=人間の内面」というヌースの特異な概念が、この4次元から見た図では文字通り「面」として表されているのが分かります。次元観察子ψ3とψ4は3次元平面が互いに4次元の逆方向に丸められているために、それぞれの球面における表裏の関係が逆になっています。つまり、ヌース理論は3次元空間自体を「面」と呼べるような位置、つまり4次元の高みから3次元空間を見て、その表裏を区別するために「人間の内面」や「人間の外面」という言葉を用いているということです。——つづく